【ybtoj】二分算法例题

【基础算法】第三章 二分算法

例一 数列分段

题目描述

对于给定的一个长度为N的正整数数列A，现在将其分成M段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。

输入格式

第1行包含两个正整数N,M。
第2行包含N个空格隔开的非负整数A。

输出格式

仅包含一个正整数，即每段和最大值最小为多少。

样例输入

  5 3  4 2 4 5 1

样例输出

6

分析

题中出现类似“最大值最小”的含义，这是答案具有单调性的最常见、最典型 的特征之一。设最优解为S，因为S的最优性如果要求每段和可以>S，那么一定存在一种划分方案使得总段数不超过M。因此答案就处于分段可行性的分界点上。

样例代码

bool check(int limit){	int cnt=1;sum=0;	for(int i=1;i<=n;i++){		if(sum+a[i]<=n;i++){			sum+=a[i];		}		else cnt++,sum=a[i];	}	return cnt<=m;}

Code

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int n,m,a[100005],l,r,mid,ans; bool check(int x){   int sum=0,num=0;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        if(sum+a[i]<=x)			sum+=a[i];        else sum=a[i],num++;    }    return num>=m;}int main(){    cin>>n>>m;    for(int i=1;i<=n;i++)		cin>>a[i],l=max(l,a[i]),r+=a[i];    while(l<=r){        mid=l+r>>1;        if(check(mid))	  l=mid+1;        else 	  r=mid-1;    }    cout<<l;    return 0;}

例二 防具布置

题目描述

现在有N组防具。 我们可以认为防线是一维的，那么每一组防具都分布在防线的某一段上，并且同一组防具是等距离排列的。 也就是说，我们可以用三个整数 和 来描述一组防具，即这一组防具布置在防线的S,S+D,S+2D...S+KD位置上。 若一个位置上的防具数量为奇数，则我们称这个位置有破绽，但是整个防线上有且仅有一个位置有破绽或根本没有破绽。请你求出破绽的位置，或是确定防线没有破绽。

输入格式

第一行是一个整数T，表示有T组互相独立的测试数据。
每组数据的第一行是一个整数N。
之后N行，每行三个整数S,E,D，代表第i组防具的三个参数，数据用空格隔开。

输出格式

对于每组测试数据，如果防线没有破绽，输出一行 There's no weakness.。
否则在一行内输出两个空格分隔的整数P和C，表示在P位置 有C个防具。当然C应该是奇数。

样例输入

  3  2  1 10 1  2 10 1  2  1 10 1   1 10 1   4  1 10 1   4 4 1   1 5 1   6 10 1

样例输出

1 1
There's no weakness.
4 3

分析

首先，若S（2^(31)-1）为偶数，则整道防线没有破绽。
否则，设破绽的位置为P，故只有P上有奇数个防具，其他位置上都有偶数个，则对于x<p,S(x)均为偶数，对于x>=P,S(x)均为奇数。

Code

#include <bits/stdc++.h>#define N 200010using namespace std;int T, n;long long s[N], e[N], d[N], l, r, mid, ans;long long f(long long x){	long long sum=0;	for (int i=1;i<=n;i++)	  if (s[i]<=x)	  	sum+=(min(x,e[i])-s[i])/d[i]+1;	return sum;}void work (){	cin>>n;	for (int i = 1; i <= n; i++)	  cin>>s[i]>>e[i]>>d[i];	if (f((long long)2147483647)%2==0){		printf("There's no weakness.\n");		return;	}	l=ans=1,r=(long long)2147483647;	while (l < r)	{		mid = (l + r) / 2;		if (f(mid) % 2 == 1) r = mid;		else l=mid+1;	}	cout<<r<<" "<<f(r)-f(r-1)<<endl;}int main(){	cin>>T;	while(T--) 		work ();	return 0;}

例三 最大均值

题目描述

给定正整数序列A，求一个平均数最大的，长度不小于L的（连续的）子段。

输入格式

第一行两个整数N和L。
接下来N行，每行输入一个正整数A。

输出格式

输出一个整数，表示平均值的最大值乘以1000再向下取整之后得到的结果。

样例输入

  10 6  6   4  2  10  3  8  5  9  4  1

样例输出

6500

分析

注意到答案具有单调性，考虑二分答案，判定“是否存在一个长度不小于L的子段，平均值不小于mid”。
如果把序列里每个数都减去二分的值，就进一步转化为“是否存在一个长度不小于L的子段，子段和非负”。
然后只需要检查一下最大子段和是否为非负数，就可以确定二分上下界的变化范围了。

Code

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const double N=1e-5;int n,L;double a[100004],b[100004],sum[100004];bool check(double num){	for(int i=1;i<=n;i++)		b[i]=a[i]-num;	for(int i=1;i<=n;i++)		sum[i]=sum[i-1]+b[i];	double ans=-1e10;	double v=1e10;	for(int i=L;i<=n;i++){		v=min(v,sum[i-L]);		ans=max(ans,sum[i]-v);			}	return ans>=0;}int main(){	double l=-1e6,r=1e6;	cin>>n>>L;	for(int i=1;i<=n;i++)		cin>>a[i];	while(l+N<r){		double mid=(l+r)/2;		if(check(mid))			l=mid;		else r=mid;	}		cout<<int (r*1000)<<endl;}